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5.2 Eilinien

Gegeben:
 
P1 (x1, y1) Koordinaten des Startpunktes P1
a1 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
R1 Radius in Punkt P1
P2 (x2, y2) Koordinaten des Endpunktes P2
a2 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
R2 Radius in Punkt P2
Gesucht:
 
Geometrie-Elemente, die einen Punkt eines Kreises mit einem Punkt eines anderen Kreises verbinden.

5.2.1 Kreise, die sich umschließen

Um eine Eilinie berechnen zu können müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
Unter diesen Voraussetzungen gibt es eine eindeutige Lösung für die gesuchte Klotoide. Diese Klotoide verbindet die beiden Kreise miteinander.

5.2.1.1 Berechnung der Klotoide

Zur Berechnung der Klotoide geht man ähnlich wie bei den Wendelinien vor. Man berechnet erst lokal eine Klotoide, welche die gewünschten Bedingungen erfüllt und transformiert sie dann in das globale Koordinatensystem. Zur Initialisierung im lokalen Koordinatensystem verwendet man eine Näherung für den Parameter A der Klotoide.§6
wobei d den Abstand der Kreislinien bezeichnet und r durch folgende Formel definiert ist:
Mit Hilfe der Formel für A erhält man eine Näherung für den Klotoidenparameter mit einer Genauigkeit von 3%.
Auf der Klotoide berechnet man die Punkte P1` und P2` sowie die Richtungswinkel in den Punkten. Die Punkte ergeben sich über A und den dazugehörigen Radius.
L1 = R1 * A2
L2 = R2 * A2
Anhand der berechneten Längen können die Koordinaten ermittelt werden. Mit Hilfe der Richtungswinkel und der Radien in den Punkten P1 und P2 berechnet man die Mittelpunkte M1 und M2.
Signifikant für die Berechnung der Übergangskurve ist der Abstand d` der beiden Mittelpunkte. Durch das Verhältnis von d zu d' lässt sich ein besserer Wert für den Klotoidenparameter berechnen. Mittels des neu berechneten Wertes wird das Verfahren wiederholt, bis man eine genügend genaue Einrechnung für die Klotoide gefunden hat.
Hat man eine Einrechnung gefunden, so initialisiert man die Klotoide mit den gefunden Parametern. Es ist darauf zu achten, dass die Vorzeichen der Radien richtig gesetzt werden. Das ist insbesondere bei rechtsgekrümmten Klotoiden essentiell, da die lokale Einrechnung an einer links gekrümmten Klotoide erfolgt. Ist das Geometrie-Element initialisiert, werden noch einmal die Mittelpunkte M1' und M2' berechnet. Man benötigt sie, um die Transformation in das globale Koordinatensystem durchzuführen.
Die Transformation besteht wie immer aus einer Rotation und einer Translation, die M1' auf M1 und M2' auf  M2 abbildet.
Der Rotationswinkel ergibt sich aus dem von M1' M2' in Richtung M1 M2 überstrichenen Winkel. Der Drehpunkt ist M1.
Der Translationsvektor ist M1' M1.

5.2.1.2 Berechnung der Kreise

Nachdem die Klotoide passend in die beiden Kreise eingerechnet wurde, müssen nun die angrenzenden Kreiselemente berechnet werden. Durch sie werden die Punkte auf dem Kreis mit den Klotoidenendpunkten verbunden. Es wird analog nach dem Schema bei der Berechnung des Kreisbogens beim Übergang Gerade - Kreis vorgegangen. Für die Möglichkeit der Einrechnung gelten die gleichen Einschränkungen. Der Startpunkt muss vor dem Startpunkt der Klotoide, der Endpunkt nach dem Ende der Klotoide liegen. Ein Kreis-Element kann maximal 90° überstreichen.

5.2.1.3 Weiteres Vorgehen

Nach der Berechnung der einzelnen Elemente werden diese aneinander gehängt und jeweils mit der kumulierten Länge des Vorgängers initialisiert.

5.2.2 Kreise, die sich schneiden

Schneiden sich die Kreise, so ist keine unmittelbare Einrechnung möglich. Es muss daher ein Übergangskreis ermittelt werden. Für den Übergangskreis stehen zwei Varianten zur Auswahl:
 
  • Der Übergangskreis umschließt beide Kreise
  • Der Übergangskreis liegt in der Schnittfläche der Kreise
Je nach Lage der Startpunkte ist einer der beiden Übergangskreise zu wählen.

5.2.2.1 Berechnung eines Übergangskreises

Im folgenden wird die Berechnung eines Umkreises erläutert. Es gilt einen Kreis zu konstruieren, dessen Radius und Mittelpunkt so gewählt werden, daß er beide Kreise umschließt. Außerdem sollten die Abstände zu den Kreisen nicht zu groß sein, da sich sonst die Trasse so stark krümmt, dass kein Übergang vom ersten Kreis in den zweiten möglich ist.
Dazu berechnet man im ersten Schritt einen Kreis, der die anderen Kreise umschließt und tangiert. Da noch keine Einrechnung möglich ist, wenn sich die Kreise berühren, muss der Radius des Hilfkreises noch minimal erweitert werden. Vergrößert man den Radius des Hilfskreises nur minimal z.B um 10%, so sind die später eingerechneten Klotoiden sehr kurz, es besteht also nicht die Gefahr, dass keine zusammenhängende Einrechnung möglich ist.
Zur Berechnung des Übergangskreises ist festzuhalten, dass der minimale Radius größer als die Summe der beiden Kreisradien R1 und R2 plus dem Abstand der Mittelpunkte d sein muss.  Es empfiehlt sich jedoch, nicht den minimalen Radius zu verwenden, sondern diesen mit einem Faktor zu multiplizieren, da die Verwendung des minimalen Radius zu einer sehr weitläufigen Trassierung führt.
Das Zentrum des Übergangskreises ergibt sich durch Konstruktion. Der Übergangskreis soll in seiner vorläufigen Einrechnung nämlich die beiden Kreise k1 und k2 tangieren.
Es sei nun Rh der Radius für den Hilfskreis, R1 und R2 die Radien der sich schneidenden Kreise. Die Länge der Strecke Mh M2 ergibt sich aus Rh minus R2. Die Länge der Strecke M1Mh ist Rh minus R1. Außerdem läßt sich die Länge der Strecke M1 M2 berechnen. Damit ist das Dreieck M1 M2 Mh eindeutig bestimmt. Mit Hilfe dieses Dreiecks lässt sich die Position von Mh bestimmen. Es gilt zu beachten, dass zwei zur Geraden durch M1 M2 symmetrische Hilfskreise existieren. Je nach Lage der Startpunkte ist der passende Kreis zu wählen. Hat man den Mittelpunkt berechnet, so erweitert man den Radius wie oben beschrieben.

5.2.2.2 Weiteres Vorgehen

Hat man den Übergangskreis bestimmt, hat man das Problem auf die Berechnung von zwei einfachen Eilinien reduziert. Man ermittelt die Eilinie, die vom Startkreis in den Übergangskreis übergeht, und die Eilinie, die vom Übergangskreis in den Endkreis übergeht. Die Geometrie-Elemente, die sich aus den Berechnungen ergeben, werden zu einem Rail zusammengefasst. Zum Schluß werden die Anfangslängen der Elemente bestimmt.

5.2.3 Kreise, die sich nicht überdecken

Liegen zwei Kreise vor, die sich nicht überdecken, so kann ebenfalls nicht direkt trassiert werden. Es müssen Hilfspunkte eingerechnet werden, über die eine Berechnung der Trasse möglich wird.

5.2.3.1 Berechnung einer Zwischengeraden

Es bietet sich an, nach obiger Methode einen Umkreis kh zu berechnen, der die beiden Kreise umschließt. Besonders bei größeren Abständen der Kreise zueinander wächst jedoch der Radius des Hilfskreises stark an. Es ist auch streckentechnisch nicht sinnvoll, die Trasse über einen Kreis zu rechnen, wenn der Abstand der Kreise ausreicht, um in eine Gerade g überzugehen, und von der Gerade wieder in den Kreis k2 zu trassieren.
Dadurch verkürzt sich der Streckenverlauf. Es stellt sich also die Frage, wie eine Hilfsgerade zu legen ist, um eine Einrechnung zu ermöglichen und einen akzeptablen Streckenverlauf zu generieren.
Geeignet ist dafür eine Parallele zur Tangente an beide Kreise. Der Abstand der Parallelen zur Tangente sollte proportional zu den Radien der Kreise gewählt werden, da ein großer Abstand zur Einwicklung der Klotoide führt, und ein kleiner Abstand ebenfalls keine Einrechnung erlaubt. Das ist darauf zurückzuführen, dass mit immer kleiner werdendem Abstand zwischen Kreis und Gerade die Klotoide immer länger wird. Im ungünstigen Fall liegt also der Endpunkt Pe der ersten Klotoide auf der Gerade g vor dem Startpunkt Pa der zweiten Klotoide.
Tritt dieser Fall ein, so ist keine Einrechnung möglich.
Die Tangente t an beide Kreise berechnet sich über das Dreieck M1 P M2.
Man kennt von diesem Dreieck die Länge der Strecke M1 M2 sowie die Länge M1 R1. Diese ist R1 minus R2, wobei R2 der kleinere Radius sei. Sind beide Radien gleich groß, so ist die Tangente parallel zur Geraden durch die Mittelpunkte. Wie man sich leicht überlegen kann, muss im Punkt P ein rechter Winkel sein. Durch diese drei Größen ist das Dreieck eindeutig bestimmt. Damit ist aber auch die Lage der längeren Hypotenuse fest. Sie gibt die Richtung der Tangente vor. Es gilt zu beachten, dass zwei Tangenten an beide Kreise existieren. Die andere Tangente ist dabei spiegelsymmetrisch zur ersten Tangente bzgl. der Geraden durch M1 M2 . Je nach Krümmung muss die passende Tangente ausgewählt werden.

5.2.3.2 Weiteres Vorgehen

Hat man die Zwischengerade bestimmt, so berechnet man eine Klotoide vom Startkreis auf die Gerade. Von der Gerade wird dann eine Klotoide auf den Endkreis berechnet. Im nächsten Schritt muss geprüft werden, ob sich Start- und Endpunkt nicht überschneiden.


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