Geometrische Funktionen

2.3 Geometrische Funktionen

Zur Berechnung von Trassen sind diverse geometrische Funktionen nötig. Sie werden im folgenden hergeleitet:

2.3.1 Gerade durch zwei Punkte

Gegeben:

P1 (x1, y1) Koordinaten des 1. Punktes auf der Geraden

P2 (x2, y2) Koordinaten des 2. Punktes auf der Geraden

Gesucht:

P(x, y) Koordinaten eines Punktes der Geraden

a Richtungswinkel der Geraden

Eine Gerade ist durch zwei nicht identische Punkte P1 und P2 eindeutig bestimmt. Da jedoch Geraden in meinem Programm in einer Punkt-Winkel-Form verwaltet werden, ist die Berechnung des Richtungswinkels der Gerade nötig.
Dazu wird im ersten Schritt die Steigung berechnet. Diese ergibt sich aus dem Quotienten der Koordinatendifferenzen. Steigung s = (y2- y1) / (x2 - x1).
Mittels des Tangens der Steigung tan(s) läßt sich nun der Winkel a berechnen. Es gilt jedoch folgende Einschränkungen zu beachten:

Der Nenner des Bruches kann Null werden. In diesem Fall muss unterschieden werden, ob der y-Wert von P2 größer als der von P1 ist. Ist das der Fall, ist der Richtungswinkel p/2. Ist er kleiner, so ist der Winkel 3p/2. Im Fall der Gleichheit muss eine Ausnahmebehandlung durchgeführt werden, da die Gerade nicht eindeutig bestimmt ist.
Um die Implementierung von Algorithmen zu vereinfachen, die auf diese Funktion zurückgreifen, wurde von mir festgelegt, dass eine Gerade eine Richtung hat. Sie verläuft immer von P1 nach P2. Streng genommen würde eine Gerade, die durch den Punkt P1 verläuft, aber den Richtungswinkel a+p hat, auch den Ansprüchen genügen. Das erschwert jedoch eine Implementierung diverser Algorithmen, die diese Funktion verwenden, erheblich.

Für die Koordinaten des Punktes P werden die Koordinaten von P1 verwendet, was ebenfalls zu einer Vereinfachung der Implementierung diverser komplexerer Algorithmen beiträgt.

2.3.2 Schnittpunkt zweier Geraden

Gegeben:

Gerade 1:

P1(x1, y1) Koordinaten eines Punktes auf der Gerade 1

a1 Richtungswinkel der Gerade 1

Gerade 2:

P2(x2, y2) Koordinaten eines Punktes auf der Gerade 2

a2 Richtungswinkel der Gerade 2

Gesucht:

P(x, y) Koordinaten des Schnittpunktes

Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt, wenn sie nicht parallel sind. Sind die Geraden parallel, muss eine Ausnahmebehandlung durchgeführt werden. Den Schnittpunkt der Geraden erhält man folgendermaßen:
Man berechnet mittels der Tangensfunktion die Steigungen s1 und s2 der Geraden.

s1 = tan(a1)
s2 = tan(a2)

Auch hier ist eine Sonderbehandlung für a = 90° bzw. 270° nötig, da für diese Werte die Tangensfunktion nicht definiert ist.
Im nächsten Schritt werden die y-Achsenabschnitte der Geraden berechnet.

a1 = y1 - s1 * x1
a2 = y2 - s2 * x2

Die Koordinaten des Schnittpunktes ergeben sich wie folgt:

x = (a2 - a1) / (s1 - s2)
y = (s1 * a2 - s2 * a1) / (s1 - s2)

Sollte eine der Geraden parallel zur y-Achse sein, so kann der y-Achsenabschnitt nicht berechnet werden, es muss daher anders verfahren werden. Der x-Wert des Schnittpunktes entspricht dem x-Wert der zur y-Achse parallelen Gerade, der y-Wert ergibt sich durch Einsetzen des x-Wertes in die Geradengleichung der anderen Gerade.

2.3.3 Normale zu einer Geraden in einem Punkt

Gegeben:

P1(x1, y1) Koordinaten eines Punktes auf der Gerade g

a1 Richtungswinkel der Gerade g

Gesucht:

P(x, y) Koordinaten eines Punktes auf der Normalen n

a2 Richtungswinkel der Normalen n

Die Berechnung einer Normalen ist ohne großen Aufwand möglich. Für den Punkt P können die Koordinaten des Punktes P1 verwendet werden. Der Winkel a2 ergibt sich durch Addition von p/2 zum Richtungswinkel a1

P = P1
a2 = a1 + p/2

Auch hier wurde zur Vereinfachung späterer Algorithmen der Richtungswinkel der Normalen durch a2 = a1 + p/2 festgelegt, also eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Mathematisch richtig ist auch a2 = a1 - p/2.

2.3.4 Mittelpunkt eines Kreises durch Randpunkt

Gegeben:

P(x1, y1) Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis

a1 Tangentenwinkel im Punkt P

r1 Radius im Punkt P

Gesucht:

M(x, y) Koordinaten des Kreismittelpunktes

Gegeben ist ein Punkt auf dem Gleis. Es ist die Richtung des Gleises in diesem Punkt bekannt. Weiterhin kennt man die Krümmung, also den Radius an dieser Stelle des Gleises. Gesucht ist das Zentrum zu dem zugehörigen Radius.

Ist der Radius < 0, also eine Rechtskurve, dann: a1 = a1 + p
Berechne die Normale N in P1
x = x1 + cos(N.a) * r1
y = y1 + sin(N.a) * r1

Im ersten Schritt muss für Rechtskurven zum Richtungswinkel p addiert werden, damit später die Normale die richtige Orientierung hat. In Schritt drei und vier steht N.a für den Richtungswinkel der Normalen.

2.3.5 Mittelsenkrechte zweier Punkte

Gegeben:

P1(x1, y1) Koordinaten eines Punktes P1

P2(x2, y2) Koordinaten eines Punktes P2

Gesucht:

M(x, y) Koordinaten des Mittelpunktes zwischen P1 und P2

a Richtungswinkel der Mittelsenkrechten

Für diverse Programmteile ist die Berechnung der Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten nötig. Diese berechnet sich auf folgende Weise:

x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2
Berechnung des Richtungswinkels l
a = l + p / 2

Für den Fall, dass P1 gleich P2 ist, kann keine Berechnung durchgeführt werden.

2.3.6 Winkelhalbierende zweier Geraden

Ebenso wie die Mittelsenkrechten benötigt man winkelhalbierende Geraden zur Einrechnung von Trassen.

Gegeben:

P1(x1, y1) Koordinaten eines Punktes auf der Gerade g1

a1 Richtungswinkel der Gerade g1

P2(x2, y2) Koordinaten eines Punktes auf der Gerade g2

a2 Richtungswinkel der Gerade g2

Gesucht:

M(x, y) Koordinaten eines Punktes auf der Normalen n

a Richtungswinkel der Normalen n

Die Koordinaten des Punktes M erhält man, indem man die Geraden g1 und g2 schneidet.
Der Winkel a ergibt sich aus den Winkeln a1 und a2. Es muss dabei unterschieden werden, ob man sich gegen oder mit dem Uhrzeigersinn von der Geraden g1 auf die Gerade g2 zubewegt. Gegen den Uhrzeigersinn (in b - Richtung) erhält man die blaue Winkelhalbierende mit dem Richtungswinkel a4, im Uhrzeigersinn (in j - Richtung) die lila Winkelhalbierende mit dem Richtungswinkel a3.

P1 (x1, y1)	Koordinaten des 1. Punktes auf der Geraden
P2 (x2, y2)	Koordinaten des 2. Punktes auf der Geraden

P(x, y)	Koordinaten eines Punktes der Geraden
a	Richtungswinkel der Geraden

P1(x1, y1)	Koordinaten eines Punktes auf der Gerade 1
a1	Richtungswinkel der Gerade 1

P2(x2, y2)	Koordinaten eines Punktes auf der Gerade 2
a2	Richtungswinkel der Gerade 2

P1(x1, y1)	Koordinaten eines Punktes auf der Gerade g
a1	Richtungswinkel der Gerade g

P(x, y)	Koordinaten eines Punktes auf der Normalen n
a2	Richtungswinkel der Normalen n

P(x1, y1)	Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis
a1	Tangentenwinkel im Punkt P
r1	Radius im Punkt P

P1(x1, y1)	Koordinaten eines Punktes P1
P2(x2, y2)	Koordinaten eines Punktes P2

M(x, y)	Koordinaten des Mittelpunktes zwischen P1 und P2
a	Richtungswinkel der Mittelsenkrechten

P1(x1, y1)	Koordinaten eines Punktes auf der Gerade g1
a1	Richtungswinkel der Gerade g1
P2(x2, y2)	Koordinaten eines Punktes auf der Gerade g2
a2	Richtungswinkel der Gerade g2