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5.1 Wendelinien

Gegeben:
 
P1 (x1, y1) Koordinaten des Startpunktes P1
a1 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
R1 Radius in Punkt P1
P2 (x2, y2) Koordinaten des Endpunktes P2
a2 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
R2 Radius in Punkt P2
Gesucht:
 
Geometrie-Elemente, die einen Punkt eines Kreises mit einem Punkt eines anderen Kreises verbinden. Die Vorzeichen  der Krümmungen sind dabei unterschiedlich.
Eine Wendelinie verbindet zwei Punkte mit verschiedenen Krümmungsvorzeichen. Sie setzt sich aus zwei Klotoidenästen sowie angrenzenden Kreis-Elementen zusammen. Die Klotoiden treffen im Ursprung aufeinander. Trennstellen der Geometrie-Elemente sind in obiger Einrechnung durch einen schwarzen Querbalken markiert.

5.1.1 Berechnung der Klotoiden

Eine notwendige Bedingung für die Berechnung der Wendelinie ist die richtige relative Lage der Kreise zueinander. Diese dürfen sich nicht überlagern oder berühren. Nur unter dieser Voraussetzung ist eine Einrechnung möglich.
Zur Trassierung wird die Skalierbarkeit der Klotoide verwendet. Man erzeugt eine Einheitsklotoide A = 1 mit zwei Ästen. Auf den Ästen werden die Punkte P1' und P2' berechnet. Im Punkt P1' hat die Klotoide den Radius R1, im Punkt P2' den Radius R2. Mit Hilfe der Punkte P1' und P2' berechnet man die Mittelpunkte M1' und M2'. Essentiell für die Klotoidenberechnung ist der Abstand d' der Punkte M1' M2'. Ist dieser gleich dem Abstand d der Punkte M1 M2, so können die berechneten Klotoidenäste durch Transformation in das Weltkoordinatensystem abgebildet werden. Durch das Verhältnis d' zu d ergibt sich der Skalierungsfaktor für die neue Klotoide. Mit Hilfe des neuen Parameters A wird das Verfahren wiederholt, bis d' mit hinreichender Genauigkeit d entspricht.
Hat man den Parameter A berechnet, so initialisiert man die Klotoiden.
Die erste Klotoide startet im Ursprung und hat die Richtung p. Der Anfangsradius ist null, der Endradius R1. Die Länge ergibt sich aus der Formel
L1 = A2 / | R1 |
Die zweite Klotoide startet ebenfalls im Ursprung. Ihr Richtungswinkel ist null, sie hat den Anfangsradius null und den Endradius R2. Ihre Länge L2 ist:
L2 = A2 / | R2 |
Die erste Klotoide muß noch invertiert werden. Sie soll nämlich nicht von P3 nach P1 verlaufen, sondern von P1 nach P3.
Die so erhaltenen Klotoidenäste werden durch Rotation und Translation in das Weltkoordinatensystem abgebildet.
Der Rotationswinkel ist der Drehwinkel, den die Gerade M1' M2' bei der Abbildung auf M1 M2 überstreicht.
Die Translationsgrößen ergeben sich aus dem Vektor M1'' M1, wobei M1'' der Mittelpunkt M1' nach der Rotation ist. Zur Berechnung des Translationsvektors können an dieser Stelle auch die Mittelpunkte M2 und M2'' verwendet werden.

5.1.2 Berechnung der Kreise

Nach der Transformation der Klotoiden berechnet man deren Endpunkte P3 und P4 auf den Kreisen. Von P1 zu P3 und von P4 zu P2 muss je ein Geometrie-Element Kreis berechnet werden. Man geht dabei genauso vor wie bei der Berechnung des Überganges Gerade - Kreis.

5.1.3 Weiteres Vorgehen

Nachdem die Trasse eingerechnet ist, werden die Geometrie-Elemente mit den Anfangslängen initialisiert.


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