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3 Strecke zwischen Gerade und Kreis

Gegeben:
 
P1 (x1, y1) Koordinaten des Startpunktes P1
a1 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
R1 Radius in Punkt P1
P2 (x2, y2) Koordinaten des Endpunktes P2
a2 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
R2 Radius in Punkt P2
Gesucht:
 
 Klotoide, die von der Gerade in den Kreis übergeht
Gegeben sind zwei Punkte sowie die Richtungen und Radien des Gleises in diesen Punkten. Es wird vorausgesetzt, dass in einem Punkt eine Gerade vorliegt. Die Berechnung zerfällt in drei Teile.

3.1 Berechnung der Klotoide


Gegeben:
 
P1 (x1, y1) Koordinaten eines Punktes auf der Bahnstrecke
a1 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
M (x, y) Koordinaten des zu betrachtenden Punktes P
R Radius des Kreises
Gesucht:
 
 Klotoide, die von der Gerade in den Kreis übergeht
Ist der Abstand Mittelpunkt M Gerade g größer als der Radius R des Kreises, schneidet oder tangiert also die Gerade den Kreis nicht, so gibt es genau eine Klotoide, die von der Gerade in den Kreis übergeht.
Man betrachtet im ersten Schritt die Standardklotoide, die durch den Ursprung geht und noch nicht transformiert ist. Nun berechnet man den Parameter A der Klotoide. Diese Klotoide wird durch Translation und Rotation so transformiert, daß sie auf der Geraden g beginnt und in den Kreis k übergeht.
Zur Berechnung der Klotoide ist die Tangentenabrückung DR erforderlich.
Eine gute Näherung für den Tangentenwinkel t liefert die Formel
Für t > 90° wird die Berechnung abgebrochen. Einzelne Geometrie-Elemente, besonders Klotoiden, die einen Winkel größer 90° zurücklegen, sind in der Praxis nicht sinnvoll. Die Klotoide wickelt sich insbesondere dann ein, wenn das Verhältnis von Radius zur Tangentenabrückung sehr klein wird. Dies ist mit zunehmender Entfernung des Kreises von der Geraden der Fall.
Im Bild sind drei Klotoiden zu sehen, die sich von der x-Achse aus an einen Kreis annähern. Man sieht deutlich, je weiter sich der Kreis von der x-Achse entfernt, desto mehr wickelt sich die Klotoide ein. Bei einer noch größeren Entfernung würde sich die Klotoide bereits so weit einwickeln, dass sie für einen sinnvollen Streckenverlauf nicht mehr tauglich wäre.

Die Länge L der Klotoide ergibt sich aus

L = 2 * R * t
Anhand dieser Parameter lässt sich eine erste Näherung der Klotoide berechnen. Für die Näherung berechnet man die Tangentenabrückung DR' neu. Diese vergleicht man mit der gewünschten Tangentenabrückung DR und stellt fest, dass sie um den Wert e abweicht.
e = DR' - DR
Mit Hilfe des Fehlers wird ein besserer Wert für die Länge der Klotoide berechnet. Durch dieses Sekantenverfahren nähert man sich schrittweise dem exakten Wert an. Ist der Fehler kleiner als ein festgesetztes e', kann die Schleife abgebrochen werden. Durch numerische Ungenauigkeiten bei der Berechnung der Klotoide kann unter ungünstigen Bedingungen oder bei zu klein gewähltem e' jedoch auch eine Oszillation auftreten. In diesem Fall wird die Programmschleife mit Hilfe eines Schleifenzählers verlassen, sobald ein bestimmten Wert überschritten wird.
Die neue Länge der Klotoide Ln ergibt sich nach dem Schaubild aus den zwei vorhergehenden Längen Ln-2 , Ln-1 und den korrespondierenden Fehlern en-2 , en-1 .
Mit der Länge L, dem Anfangsradius 0 und dem Endradius R ist die Klotoide bestimmt. Sie muss nun noch vom Ursprung in die geeignete Lage transformiert werden.
Die Transformation setzt sich aus einer Rotation und einer Translation zusammen. Erst rotiert man die Klotoide  - rot - um den Ursprung mit dem Drehwinkel a. Damit hat die Klotoide - grün - bereits die geeignete Startrichtung. Jetzt berechnet man zur Länge L den Mittelpunkt M' auf der grünen Klotoide. Die Werte für die Translation ergeben sich aus dem Vektor M' M. Durch eine Translation mit dem Vektor M' M wird die gedrehte Klotoide  - grün - auf die endgültige Klotoide - blau - verschoben.

3.2 Berechnung weiterer Geometrie-Elemente

Um nun einen beliebigen Punkt P1 auf der Gerade g mit einem beliebigen Punkt P2 auf dem Kreis zu verbinden, müssen weitere Geometrieelemente - grün - an die Klotoide - blau - angefügt werden.

3.2.1 Berechnung der Geraden

Bevor das Geometrie-Element Gerade berechnet wird, muß geprüft werden, ob eine Einrechnung überhaupt möglich ist. Dies ist der Fall, wenn sich P1 nicht im rot markierten Bereich der Geraden befindet. Da durch den Abstand und den Radius die Klotoide - blau - eindeutig bestimmt ist, muss in Fahrtrichtung gesehen P1 vor oder auf dem Startpunkt der Klotoide längs der Geraden liegen. Liegt er dahinter, also im rot markierten Bereich der Gerade, so ist keine Einrechnung anhand der Geometrie-Elemente-Folge Gerade, Klotoide, Kreis möglich. Eine Validierung der Einrechnung wird mit Hilfe der Normalen zu g in P1 geprüft, siehe auch Lage bzgl. der Normalen zur Strecke.
Das Geometrie-Element Gerade hat die Länge P1 - Startpunkt der Klotoide. Die Richtung entspricht der Richtung der Geraden g. Um Rechenungenauigkeiten bei der Berechnung der Klotoide auszugleichen bietet es sich an, das Geometrie-Element Gerade durch P1 und den Startpunkt der Klotoide zu definieren.
Liegt nun der berechnete Klotoidenstartpunkt durch numerische Ungenauigkeit etwas neben der Gerade, so ergibt sich beim Übergang von der Gerade zur Klotoide ein unwesentlicher Sprung in der Richtung, da die Länge der Strecke P1 - Startpunkt der Klotoide wesentlich größer ist als der Abstand des Startpunktes von der Geraden g. Tritt nun der Fall ein, dass der Abstand P1 zum Startpunkt der Klotoide sehr klein wird, so führt dies zu einem nicht mehr vernachlässigbaren Sprung in der Richtung. Dies würde beim Durchfahren der Strecke auf dem Simulator dazu führen, dass das Bewegungssystem kurzzeitig stark anspricht, um die Kabine des Simulators neu auszurichten. Ein heftiger Ruck wäre die Folge. Da jedoch der Abstand des Punktes P3 zur Gerade nur im Millimeterbereich liegt, kann man hier den Fehler vernachlässigen. Das Geometrie-Element Klotoide beginnt dann wenige Millimeter vom Ende des Geometrie-Elementes Gerade entfernt.
Der Sprung ist im Sichtsystem des Simulators nicht sichtbar, und da kein Richtungs-, sondern nur ein Ortssprung auftritt, reagiert auch das Bewegungssystem nicht.
 

3.2.2 Berechnung des Kreisbogens

Für das Geometrie-Element Kreis gilt die selbe Restriktion wie für die Gerade. Liegt der Punkt P2 im rot markierten Bereich, so ist keine Einrechnung möglich. Hierzu ist anzumerken, dass das Geometrie-Element Kreis ebenfalls auf einen Winkel von 90° beschränkt wurde. Es kann also maximal ein Viertelkreis erzeugt werden. Die Überprüfung findet anhand der Richtungswinkel des Klotoidenendes und P2 mit Hilfe des Tests Winkel im Drehbereich statt. Ist eine Einrechnung möglich, so wird ein Geometrie-Element Kreis erzeugt, das am Ende der Klotoide beginnt und bis zur Richtung in P2 verläuft. Der Radius des Kreises ergibt sich aus dem Radius der Klotoide an ihrem Ende.

3.3 Weitere Unterscheidungen

Oben wurde die Einrechnung eines Gleises von einer Geraden in einen Kreis behandelt. Soll eine Einrechnung des Gleises von einem Kreis in einer Gerade durchgeführt werden, so reicht es, die Aufgabenstellung zu invertieren, also das Gleis in entgegengesetzte Fahrtrichtung zu berechnen. Dann lässt sich obiges Schema verwenden. Das erhaltene Gleis muss entsprechend reinvertiert werden. Es sind folgende Maßnahmen nötig: Dies führt dazu, dass das Gleis vom Ende zum Startpunkt berechnet wird. Nach Durchführung der Berechnung muss nun jedes Geometrie-Element für sich invertiert werden. Die erhaltenen Geometrie-Elemente müssen dann in umgekehrter Reihenfolge zurückgeliefert werden.
Zur Invertierung eines Geometrie-Elementes sind analoge Schritte notwendig: Das erhaltene Gleis entspricht den gestellten Anforderungen.

3.4 Anschließende Schritte

Nachdem die Trasse eingerechnet ist, werden die Geometrie-Elemente noch mit den Anfangslängen initialisiert. Jedes Geometrie-Element erhält dabei die kumulierte Länge der vorangegangen Geometrie-Elemente. Das ist notwendig, um später die Reihenfolge der Geometrie-Elemente feststellen zu können.

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